考研数学：概率论与数理统计核心公式与概念辨析
本文档根据考研数学大纲，旨在系统梳理概率论与数理统计的核心知识点，便于快速复习。
第一部分：概率论基础
一、基本概率模型与计数原理
1. 古典概型
定义：试验的样本空间 Ω\OmegaΩ 只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同。
公式：若事件A包含 kkk 个基本事件，样本空间共有 nnn 个基本事件，则 P(A)=knP(A) = \frac{k}{n}P(A)=nk。
核心：将概率问题转化为排列组合的计数问题。
2. 几何概型
定义：试验的样本空间 Ω\OmegaΩ 是一个可度量的几何区域（如线段、平面、体），每个样本点出现的可能性相同。
公式：若事件A对应的子区域为 AΩA_{\Omega}AΩ，则 P(A)=μ(AΩ)μ(Ω)P(A) = \frac{\mu(A_{\Omega})}{\mu(\Omega)}P(A)=μ(Ω)μ(AΩ)，其中 μ\muμ 是度量（长度、面积、体积）。
核心：将概率问题转化为几何图形的度量计算问题。
3. 计数原理与组合公式
加法原理：完成一件事有 nnn 类方法，各 ...
可逆矩阵的极分解定理
一、定理概述
可逆矩阵的极分解定理（Polar Decomposition Theorem）是线性代数中的一个基本且重要的定理。它类似于复数的极坐标表示形式 z=reiθz = re^{i\theta}z=reiθ，将矩阵分解为"旋转"和"伸缩"两个部分。
定理陈述：设 AAA 是 n×nn \times nn×n 的可逆实矩阵（或复矩阵），则存在唯一的分解：
右极分解（Right Polar Decomposition）
A=UPA = UP
A=UP
其中：
UUU 是正交矩阵（实矩阵情况下，UTU=IU^TU = IUTU=I）或酉矩阵（复矩阵情况下，U∗U=IU^*U = IU∗U=I）
PPP 是正定对称矩阵（实矩阵情况下）或正定Hermite矩阵（复矩阵情况下）
左极分解（Left Polar Decomposition）
A=QUA = QU
A=QU
其中：
UUU 是正交矩阵（或酉矩阵），与右极分解中的 UUU 相同
QQQ 是正定对称矩阵（或正定Hermite矩阵）
二、几何意义
极分解的几何意义 ...
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二次型与矩阵谱分解：基于2013年考研数学真题的分析
本文将详细解答2013年考研数学中的一道线性代数题目，并深入探讨其背后涉及的矩阵分解理论。
一、题目回顾
题目 (2013年数学一、三)
f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2f(x_1, x_2, x_3) = 2(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3)^2 + (b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3)^2
f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2
记：
α=(a1a2a3),β=(b1b2b3)\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
α=a1a2a3,β=b1b2b3
(I) 证明二次型 fff 对应的矩阵为 A=2ααT+ββT ...
三函数乘积的积分：表格法推广
当我们在求解两个函数乘积的积分时，特别是其中一个函数（如多项式）经过多次求导后会变成零的情况下，表格积分法（Tabular Integration）是一种非常高效、直观的方法。这自然引出一个问题：这种方法能否推广到三个或更多函数乘积的积分？
本文将探讨这个问题，解释直接推广的难点，并提供一个逻辑上相似的、系统性的求解三函数乘积积分的方法。
1. 回顾：双函数乘积的表格积分法
我们首先回顾一下标准的分部积分公式：
∫u dv=uv−∫v du\begin{aligned}
\int u \, dv &= uv - \int v \, du
\end{aligned}
∫udv=uv−∫vdu
当我们需要计算 ∫f(x)g(x)dx\int f(x)g(x)dx∫f(x)g(x)dx 并且 f(x)f(x)f(x) 是一个可以被多次微分至零的函数（例如多项式）时，我们可以反复应用分部积分。表格法正是这个过程的简化形式。
方法如下：
创建一个表格，左边一列放 f(x)f(x)f(x) 及其各阶导数，直到为0。
右边一列放 g(x)g(x)g(x) ...
无穷远处趋于零的严格凹凸函数，在无限远处的性质
问题描述
已知函数 f(x)f(x)f(x) 满足以下条件：
limx→+∞f(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0x→+∞limf(x)=0
f′′(x)f''(x)f′′(x) 在 R\mathbb{R}R 上恒不为零（即函数有确定的凹凸性）
本文将分类讨论 f′′(x)>0f''(x) > 0f′′(x)>0（严格凸）和 f′′(x)<0f''(x) < 0f′′(x)<0（严格凹）两种情况下，以下四个命题的成立情况：
limx→+∞f′(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = 0x→+∞limf′(x)=0
f(x)f(x)f(x) 的单调性
f(x)f(x)f(x) 的符号
limx→−∞f(x)\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)x→−∞limf(x)
级数 ∑n=1∞f′(n)\sum\lim ...
二元函数极值、海赛矩阵与李亚普诺夫稳定性分析——从一元到二元的推广
一元函数极值与拐点回顾
在分析更复杂的二元函数之前，我们首先回顾一下一元函数中两个核心概念：极值点和拐点的判定法则。这有助于我们理解这些思想如何被推广到更高维度。
1. 极值点 (Local Extrema)
极值点是函数曲线上局部的“山峰”（极大值）或“山谷”（极小值）。
必要条件：若函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 可导且取得极值，则其一阶导数必为零，即 f′(x0)=0f'(x_0) = 0f′(x0)=0。因此，极值的候选点（也称驻点或临界点）是满足 f′(x0)=0f'(x_0) = 0f′(x0)=0 或导数不存在的点。
第一充分条件 (一阶导数左右变号)：设函数在 x0x_0x0 连续，在 x0x_0x0 的去心邻域可导。
若在 x0x_0x0 左侧 f′(x)>0f'(x) > 0f′(x)>0 而右侧 f′(x)<0f'(x) < 0f′(x)<0，则 f(x0)f(x_0)f(x0 ...
【2025最新】WSL+LaTex+VSCode安装教程
假定你已经在Win里装了TexLive2025，配置了VSCode（实际上没有也无所谓），能正常编译，但苦于编译速度慢，需要利用WSL的Ubuntu的编译速度。
为了避免问题，不要使用中文路径
整合参考了以下教程：
https://learn.microsoft.com/zh-cn/windows/wsl/install
https://zhuanlan.zhihu.com/p/9322988213
https://www.cnblogs.com/eslzzyl/p/17358405.html
https://blog.csdn.net/m0_73248035/article/details/130565440
https://blog.csdn.net/qq_34013247/article/details/140405816
https://edgeworthlau.github.io/tutorial/latex1/
安装WSL和Linux发布版本
启用相关功能
首先确保虚拟化选项开启。这个如果没有开启的话 ...
近日发现word往ppt里复制东西都会报错“抱歉出现问题可能导致ppt不稳定”，现已按教程解决。具体步骤如下
关闭所有 Office 软件，在 “开始 ”菜单中查找 “命令提示符”（或 “cmd”），右键单击并选择 “以管理员身份运行”；
在命令提示符下输入以下代码：cd %programfiles%\Common Files\microsoft shared\ClickToRun，回车；
然后输入Officec2rclient.exe /update user updatetoversion=16.0.18025.20160。（可根据官网查找版本号，替换16.0.XXXXX.YYYYY中的X和Y。经我测试重装18025.20160后恢复正常）
退出版本后，转到 Word 的 “文件”>“账户 ”菜单。在右侧选中 “Microsoft 365 和 Office 更新 ”标题，点击 “更新选项 ”按钮并选择 “禁用更新 ”选项。
入党申请书
敬爱的党组织:
我申请加入中国共产党，为共产主义事业奋斗终身。
中国共产党是中国工人阶级的先锋队，是中国人民和中华民族的先锋队，是中国特色社会主义事业的领导核心。党的基本路线是领导和团结全国各族人民，以经济建设为中心，坚持四项基本原则，坚持改革开放，自力更生，艰苦创业，为把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国而奋斗。党的工作路线是一切为了群众，一切依靠群众，从群众中来，到群众中去，把党的正确主张变为群众的自觉行动。党的宗旨是全心全意为人民服务，这也是我入党的初心——为人民服务，为祖国做贡献，为社会主义事业添砖加瓦。
1921年，在浙江嘉兴南湖的一艘游船上，中国共产党诞生了。一百多年来，中国共产党始终坚守为人民谋幸福、为民族谋复兴的初心使命，团结带领亿万人民经千难而百折不挠、历万险而矢志不渝，攻克了一个又一个看似不可攻克的难关，创造了一个又一个彪炳史册的人间奇迹，书写了中华民族几千年历史上最恢宏的史诗，实现中华民族伟大复兴进入了不可逆转的历史进程。
小时候，我的父母便教育我要爱国爱党。长大后，通过学习党的知识和历史，我对党有了更深的了解和认识，对党的热爱和敬仰 ...
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保险学概述
【关键词】风险、风险因素、风险识别、风险评估、风险管理、风险事故、基本风险、纯粹风险、投机风险、静态风险、动态风险、风险管理、转嫁风险、可保风险、道德风险、商业保险、强制保险、自愿保险、原保险、共同保险、重复保险、经济政策性保险、定额保险、团体保险、保险公司、保险密度、保险深度、人寿保险、生命表、相互保险、自保、补偿性、给付性、人身保险、财产保险、海因里希法则
前言
亲爱的各位同学们大家好。看过我《金融计量学》速通视频的同学应该对我的风格有所了解。我的《保险原理与实务》的速通视频同样延续了精炼、高效的特点，已经接触过、学过的同学可以对照我的视频，对重要知识点进行查漏补缺，没学过的同学也可以利用我的视频快速入门，掌握其中的重要知识，更加高效地备考期末考试。
先来谈一谈大家最关心的考试问题。对于《保险原理和实务》这一门课程来说，最有价值的、最重要的题型。就是案例分析题。考试出的题目，实际上都是为了考察某一重要知识点，因此考试速成复习的要点就是在于快速掌握保险原理与实务的主要知识框架。此外还有题目会要求你以投保人的身份，根据题目中所设定的背景配置对应的投保方案。
简单 ...
没有数学的帮助，今天的金融理论都将失去生存的根基。
金融是指资金的融通，是资产和负债随时间的推移在确定以及不确定性状态下分配的动态过程。
maxu(C0)+δE[u(cs)]\max u(C_{0})+\delta E[u(c_s)]
maxu(C0)+δE[u(cs)]
消费者跨期效用最大化的求解
站在投资者的角度，如何精确地给资产定价、计算收益率，是投资是否有利可图的重要依据。借助数学，经济学发展出两条路径：一条路径从最基础的资源禀赋、投资者偏好出发，思考市场的供给与需求，通过建立一般均衡，建立整个经济体的数学模型，资产定价问题便转化为了求解均衡问题，从而有迹可循。
另一条路径从套利问题出发，在无套利机会的假设下通过复制资产，构建资产价格变化的二叉树，把资产的价格变化问题转化至二叉树生成的空间中，价格的求解就是对二叉树定价方程的求解。
C0=e−r(er−du−dCu+u−eru−dCd)=e−rEQ[c~]C_0=e^{-r}\left(\frac{e^r-d}{u-d}C_u+\frac{u-e^r}{u-d}C_d\right)=e^{-r}E^Q\left[\ ...
中国可转债市场弱势有效性的实证检验
Prong，921107810238
南京理工大学经济管理学院金融1班
摘 要：
本文以选取2002年12月31日至2024年4月30日这十二年间我国可转换债券市场的中证可转换债券指数（000832）的5179个日度数据作为研究样本，以随机游走理论为基础，运用单位根检验法、序列相关检验法、游程检验法、Hurst指数检验法进行实证研究，目的在于研究我国可转债市场是否达到弱势有效性。通过研究得出结论，认为我国可转债市场尚未达到弱式有效。
关键词：
可转换债券；弱势有效性；自相关；随机游走；单位根；游程检验；Hurst指数；
引言
在我国经济步入新时代并逐渐与国际金融体系接轨的背景下，我国金融市场展现出多样化的发展态势。其中，可转债市场作为金融市场的重要组成部分，近年来实现了快速增长。特别是自2017年9月可转债申购方式从价格申购转变为信用申购以来，上市公司通过可转债融资的规模呈现爆炸性增长，2017年的发行规模便突破了900亿元人民币，较2016年增长了超过四倍。2019年至2022年间，融资规模更是连续突破2000亿元大关，可转债已成为上 ...
论文与报告
未读Ultra-long-term government bonds expected to enhance economic vitality
China is set to issue ultra-long-term national bonds starting May 17, as part of its strategy to maintain robust government spending. Compared with ordinary government bonds, ultra-long-term government bonds can relieve the debt repayment pressure of short-term and medium-term bonds to a certain extents and have historically contributed to economic growth and stability, such as the special bonds issued during the COVID-19 pan ...
此前设置的Zerotire虚拟局域网一直可以正常使用，速度也很不错，但今天重启路由器后，出现无法远程连接的问题。具体表现是Physical ip 为UNKNOWN，ping地址基本都ping不出来，连上梯子也无济于事，重装、安装历史版本也没有作用。最终无奈尝试删除原Zerotier网络并重新创建一个新虚拟局域网，现在可以正常使用。
高利贷帝国主义是美国资本主义的没落吗？基于ARCH模型的美国联邦基金利率走向分析
张茂源，921107810238
南京理工大学经济管理学院金融1班
摘 要：
本文旨在利用行业的生命周期理论和ARCH模型来分析预测美国联邦基金利率的变化率，从而判断美国资本主义的发展阶段和未来趋势。本文首先综合分析了资本主义的生命周期阶段的划分、特征和美联储联邦基金利率变动周期与经济衰退现象的关系，指出美国资本主义已经进入了衰退期。然后，使用1954年7月1日至2023年11月的联邦基金利率月度收益率的数据，建立了ARCH(2)自回归条件异方差模型，对联邦基金利率的变化率进行动态预测，发现美国加息的趋势不会继续加强，而是会逐渐减弱，最终可能会进入降息周期，同历史周期一致，有经济衰退期现象伴随出现。这一结果与生命周期理论的判断相一致。本文的意义在于：将ARCH模型应用于联邦基金利率的变化率的分析预测，以及将资本主义的发展类比为行业的生命周期，从两个不同的角度、不同维度的理论、实证分析的结合，来对美国资本主义的发展展开更加准确的分析，从而更好地把握资本主义的发展规律。
关键词：
ARCH模型； ...
ARMA建模预测
序列模型识别
选择数据类型为Dated-regular frequency，设置开始结束时间，创建好工作文件后就可以将数据录入。
简单观察数据，可以绘制序列时序图：双击序列，点击view/Granph/line。
同样，在这里可以绘制序列相关图：点击view/Correlogram，可以得到序列ACF、PACF的相关情况。
平稳性检验
点击view/unit root test进行单位根检验，观察p值和显著性水平的关系。
阶数判断、选择模型、参数估计
根据ACF、PACF的特点，选择相应的模型。最终选用的形式取决于具体应用的效果。此处先建立AR(2)，在主菜单选择Quick\Estimate Equation，输入x ar(1) ar(2)。如果建立MA(1)，则输入x ma(1)，ARMA(1, 1)则输入ls x ar(1) ma(1)
模型检验
从建模的相关图，判断残差是否为白噪声，如果是白噪声说明模拟合效果不错。
模型预测
用拟合的有效模型进行短期预测，同时选中x和xf，右键点open/as group，然后点击view/graph/line，如果能较好进行拟 ...
学习笔记
未读[toc]
Python简介
孕育于1989，现在更新至3.0版本（PY3K）
是一种跨平台计算机程序设计语言
解释型语言：没有编译的环节
交互式语言：可以在提示符>>后直接执行代码
面对对象语言
初学者最好的语言
环境配置：
安装Python解释器
自带简单开发环境IDLE
交互式命令行程序
安装集成开发环境Pycharm
发展方向
Web全栈开发方向
掌握技术
数据开发
数据库管理
后台框架技术
职业方向
Web全栈开发工程师
数据科学方向
掌握技术
数据库管理
数据分析
数据可视化
制作数据看板
实现数据指标监控
职业方向
数据产品经理
量化交易
初级BI商业分析师
仍智能方向-机器学习
掌握技术
机器学习常用算法思想
搭建机器学习模型，对一些应用场景进行智能化
职业方向
数据分析工程师
机器学习算法工程师
搜索算法工程师
推荐算法工程师
人工智能方向-深度学习
掌握技术
深度学习常用框架
自行搭建图像相关算法，实现图像分类、人脸识别
自行搭建NLP常见算法，实现文本分类、问答系统
掌 ...
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重要提示
注意整型溢出问题
注意题目中的特殊情况（边界、极值等）
程序 秒钟能执行的操作数大约为 108−10910^8-10^9108−109
机考过程中无法得知自己的分数，因此做完之后需要自己构造一些数据进行测试，尽可能覆盖各种边界情况
根据刚刚得知的去年的题目，难度不大，主要在于细心，避免翻车
由于刚刚才得知去年的难度，原先推荐的CSP认证真题不再适合训练（太难了），现在推荐这个网站：http://ybt.ssoier.cn:8088/index.php 。只需要刷基础（一）：C++语言的题目即可，特别是其中循环和数组这两个章节的题目，大概率有原题或类似的题目！做不完也尽量把其中的例题做完（小声：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=2045 个人猜测可能会有类似这道题的题目）
如果题目里要求保留x位小数，在输出的前一行加上这样一行代码：cout<<fixed<<setprecision(x); 把x换成题目要求的位数即可。（如果没用万能头文件（见“二、最基础的模板”）的话，需要加上这个 ...
