衍生品敏感度指标（希腊字母）

期权与资产定价中的“希腊字母”详解

金融衍生品的价格受多个风险因子的影响。为了量化这些风险，金融工程定义了一系列以希腊字母命名的敏感度指标（The Greeks）。

1. Delta (Δ\Delta)：价格敏感度

定义：期权价格对标的资产价格变动的敏感度。

Δ=∂V∂S\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}

  • 衡量：方向性风险。即“股价涨 1 元，期权涨多少？”
  • 特征：
    • 看涨期权 (Call)：0<Δ<10 < \Delta < 1
    • 看跌期权 (Put)：−1<Δ<0-1 < \Delta < 0
    • 股票：Δ≡1\Delta \equiv 1
  • 应用：Delta 对冲（构建风险中性组合）。

2. Gamma (Γ\Gamma)：Delta 的敏感度

定义：Delta 对标的资产价格变动的敏感度（即期权价格对标的资产价格的二阶导数）。

Γ=∂Δ∂S=∂2V∂S2\Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S} = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}

  • 衡量：凸性风险（Convexity）。即“股价波动时，Delta 变得有多快？”
  • 特征：
    • Gamma 值对于期权多头（买方）总是正的 (Γ>0\Gamma > 0)。
    • 平值期权 (ATM) 的 Gamma 最大，深度价内或价外的 Gamma 接近 0。
  • 意义：
    • 如果 Gamma 很大，Delta 会随着股价变化剧烈波动，导致 Delta 对冲很难维持（需要频繁调仓）。
    • Gamma Squeeze（Gamma 挤压）：当做市商卖出大量看涨期权（做空 Gamma）时，若股价上涨，做市商需要买入越来越多的股票来对冲 Delta，这进一步推高股价，形成正反馈循环。

3. Theta (Θ\Theta)：时间敏感度

定义：期权价格对时间流逝的敏感度（通常定义为时间每减少 1 天/年，价格的变动）。

Θ=∂V∂t\Theta = \frac{\partial V}{\partial t}

  • 衡量：时间价值损耗（Time Decay）。
  • 特征：
    • 对于期权多头，Theta 通常为负值（时间是买方的敌人，每一天过去，期权都在贬值）。
    • 平值期权的时间价值损耗最快（Theta 绝对值最大）。
    • 临近到期时，平值期权的 Theta 会急剧增大。
  • 意义：
    • 卖出期权策略（Short Volatility）的核心利润来源就是赚取 Theta。

4. Vega (ν\nu)：波动率敏感度

定义：期权价格对标的资产波动率 (σ\sigma) 变动的敏感度。

ν=∂V∂σ\nu = \frac{\partial V}{\partial \sigma}

  • 衡量：波动率风险。即“波动率上升 1%，期权涨多少？”
  • 特征：
    • Vega 对于期权多头总是正的（波动率越高，期权越值钱）。
    • 平值期权且期限越长的期权，Vega 越大。
  • 注意：Vega 不是希腊字母，但在金融中被当作希腊字母处理。

5. Rho (ρ\rho)：利率敏感度

定义：期权价格对无风险利率 (rr) 变动的敏感度。

ρ=∂V∂r\rho = \frac{\partial V}{\partial r}

  • 衡量：利率风险。
  • 特征：
    • 看涨期权：ρ>0\rho > 0（利率上升，看涨期权升值）。
    • 看跌期权：ρ<0\rho < 0（利率上升，看跌期权贬值）。
  • 意义：在低利率环境下或短期期权中，Rho 的影响通常较小，常被忽略。

6. 希腊字母总结表

希腊字母 符号 计算公式 衡量风险 解释 多头符号 (+/-)
Delta Δ\Delta ∂V∂S\frac{\partial V}{\partial S} 方向性风险 股价变动 1 单位，期权价格变动多少 Call (+), Put (-)
Gamma Γ\Gamma ∂2V∂S2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} 凸性/曲率 股价变动 1 单位，Delta 变动多少 +
Theta Θ\Theta ∂V∂t\frac{\partial V}{\partial t} 时间损耗 时间流逝 1 天，期权价格变动多少 -
Vega ν\nu ∂V∂σ\frac{\partial V}{\partial \sigma} 波动率风险 波动率变动 1%，期权价格变动多少 +
Rho ρ\rho ∂V∂r\frac{\partial V}{\partial r} 利率风险 利率变动 1%，期权价格变动多少 Call (+), Put (-)

7. 拓展：Delta 对冲计算详解

3.1 离散模型：二项式树 (Binomial Tree)

这是真题中经常用到的计算方法，用差分代替微分。

Δ=Cu−CdSu−Sd\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}

  • Cu,CdC_u, C_d：股价上涨/下跌时的期权价值。
  • Su,SdS_u, S_d：股价上涨/下跌时的股票价格。
  • 意义：这是“复制原理”的核心。它告诉我们，为了复制一份期权的收益，需要持有多少份股票。

3.2 连续模型：布莱克-舒尔斯模型 (Black-Scholes Model)

在 B-S 公式中，Delta 有精确的解析解：

  • 欧式看涨期权 (Call, C)：

    ΔC=N(d1)\Delta_{C} = N(d_1)

  • 欧式看跌期权 (Put, P)：

    ΔP=N(d1)−1\Delta_{P} = N(d_1) - 1

其中 N(⋅)N(\cdot) 是标准正态分布的累积分布函数，d1d_1 是 B-S 公式中的参数。N(d1)N(d_1) 也可以解释为期权在到期时成为价内期权的概率（近似）。

3.3 对冲实例（真题逻辑）

假设你持有 NSN_S 股股票（Delta=1），想用看涨期权（Delta=ΔC\Delta_C）来对冲风险。

  1. 构建方程：

    NS×1+NC×ΔC=0N_S \times 1 + N_C \times \Delta_C = 0

  2. 求解期权数量 (NCN_C)：

    NC=−NSΔCN_C = - \frac{N_S}{\Delta_C}

  3. 操作：
    • 如果计算结果为负，意味着你需要卖出 (Short) 期权。
    • 如果计算结果为正，意味着你需要买入 (Long) 期权。

示例

  • 场景：持有 10,000 股股票，每份看涨期权 Delta (ΔC\Delta_C) = 0.25。
  • 计算：10,000×1+NC×0.25=0  ⟹  NC=−40,00010,000 \times 1 + N_C \times 0.25 = 0 \implies N_C = -40,000。
  • 决策：卖出 40,000 份看涨期权。