考研数学：概率论与数理统计核心公式与概念辨析

本文档根据考研数学大纲，旨在系统梳理概率论与数理统计的核心知识点，便于快速复习。

第一部分：概率论基础

一、基本概率模型与计数原理

1. 古典概型

• 定义：试验的样本空间 $\Omega$ 只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同。
• 公式：若事件A包含 $k$ 个基本事件，样本空间共有 $n$ 个基本事件，则 $P(A) = \frac{k}{n}$。
• 核心：将概率问题转化为排列组合的计数问题。

2. 几何概型

• 定义：试验的样本空间 $\Omega$ 是一个可度量的几何区域（如线段、平面、体），每个样本点出现的可能性相同。
• 公式：若事件A对应的子区域为 $A_{\Omega}$，则 $P(A) = \frac{\mu(A_{\Omega})}{\mu(\Omega)}$，其中 $\mu$ 是度量（长度、面积、体积）。
• 核心：将概率问题转化为几何图形的度量计算问题。

3. 计数原理与组合公式

• 加法原理：完成一件事有 $n$ 类方法，各类方法相互独立，第 $i$ 类方法有 $m_i$ 种，则共有 $\sum\limits m_i$ 种方法。
• 乘法原理：完成一件事需要 $n$ 个步骤，各步骤相互独立，第 $i$ 个步骤有 $m_i$ 种方法，则共有 $\prod\limits m_i$ 种方法。
• 排列 (Permutation)：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，按一定顺序排列。$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$。
• 组合 (Combination)：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，不考虑顺序。$C_n^m = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$。

4. 常见计数问题 (抽样与分配)

二、概率论基本概念与公式

1. 核心概念辨析：独立 vs. 互不相容 vs. 不相关

这三个概念描述了事件或随机变量之间不同层面的关系，极易混淆。

2. 重要概率基本公式

设 A, B 为任意两个事件。

3. 全概率公式与贝叶斯公式的理解 (全集分解)

一件事（事件A）的发生，其原因往往是复杂的，可能是由多种互斥的原因（$B_1, B_2, \dots, B_n$）之一所引起的。在这种情况下，我们就需要考虑对样本空间进行 全集分解。

• 什么是全集分解:
  设 $B_1, B_2, \dots, B_n$ 是一组事件，如果它们满足：

  1. 两两互斥：$B_i B_j = \emptyset$ (对于任意 $i \neq j$)
  2. 并集为全集：$\bigcup\limits_{i=1}^{n} B_i = \Omega$ (完备事件组)
     那么，这组事件就构成了样本空间 $\Omega$ 的一个分解。你可以把它们想象成将一整块蛋糕切成了n块，互不重叠，且刚好拼成完整的蛋糕。每一块 $B_i$ 就代表了一种可能的原因或场景。

• 公式的应用:

  • 全概率公式：计算的是“结果”A的总概率。它通过“把所有原因都考虑进去”的方式，将A在各种原因$B_i$下发生的概率 $P(A \mid B_i)$，用原因$B_i$自身的概率 $P(B_i)$ 作为权重进行加权求和，最终得到 $P(A)$。
  • 贝叶斯公式：是全概率公式的“逆过程”。当我们已经观测到“结果”A发生了，回过头去推断它是由某一个特定“原因”$B_i$所导致的概率有多大，即求 $P(B_i \mid A)$。这正是“执果索因”的数学体现。

三、一维随机变量及其常见分布

1. 分布函数、概率质量/密度函数

• 分布函数 (CDF - Cumulative Distribution Function):
  对于任意随机变量X，其分布函数定义为 $F(x) = P\{X \le x\}$。
  核心性质:

  1. $0 \le F(x) \le 1$
  2. $F(x)$ 是单调不减函数。
  3. $F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1$
  4. $P\{a < X \le b\} = F(b) - F(a)$

• 离散型 - 概率质量函数 (PMF - Probability Mass Function):
  $P\{X=x_k\} = p_k$，其中 $p_k \ge 0, \sum\limits_k p_k = 1$。分布函数 $F(x)$ 是阶梯状的跳跃函数。

• 连续型 - 概率密度函数 (PDF - Probability Density Function):
  如果存在非负函数 $f(x)$ 使得 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt$，则称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为其概率密度函数。
  核心性质:

  1. $f(x) \ge 0$
  2. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$
  3. 在 $f(x)$ 的连续点上，$F'(x) = f(x)$
  4. $P\{a < X \le b\} = \int_a^b f(x)dx$

2. 常见分布的性质汇总表

四、二维随机变量及其分布

1. 联合分布

• 联合分布函数：$F(x, y) = P\{X \le x, Y \le y\}$
• 离散型 - 联合概率分布律：$P\{X=x_i, Y=y_j\} = p_{ij}$
• 连续型 - 联合概率密度：$f(x, y) $，具有性质：
  1. $f(x, y) \ge 0$
  2. $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy = 1$
  3. $F(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv$
  4. $\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y} = f(x,y)$

2. 边缘分布

边缘分布是二维随机变量中单个变量的分布。

• 边缘分布函数:

  • $F_X(x) = P\{X \le x\} = F(x, +\infty)$
  • $F_Y(y) = P\{Y \le y\} = F(+\infty, y)$

• 离散型 - 边缘分布律:

  • $p_{i\cdot} = P\{X=x_i\} = \sum\limits_{j=1}^{\infty} p_{ij}$ (对 j 求和)
  • $p_{\cdot j} = P\{Y=y_j\} = \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_{ij}$ (对 i 求和)

• 连续型 - 边缘密度函数:

  • $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy$ (对 y 积分)
  • $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx$ (对 x 积分)

3. 条件分布

条件分布是在一个变量取给定值的条件下，另一个变量的分布。

• 离散型 - 条件分布律:

  • $P\{X=x_i \mid Y=y_j\} = \frac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$
  • $P\{Y=y_j \mid X=x_i\} = \frac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}} = \frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}$

• 连续型 - 条件密度函数:

  • $f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ (要求 $f_Y(y) > 0$)
  • $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ (要求 $f_X(x) > 0$)

4. 随机变量的独立性

$X, Y$ 相互独立的充要条件是它们的联合分布等于边缘分布的乘积。

• $F(x, y) = F_X(x)F_Y(y)$
• 离散型：$p_{ij} = p_{i\cdot} \cdot p_{\cdot j}$
• 连续型：$f(x, y) = f_X(x)f_Y(y)$

5. 二维正态分布

二维正态分布是多元正态分布中最简单的情形，也是应用最广泛的多元连续分布。它由五个参数描述：两个期望 $\mu_1, \mu_2$，两个方差 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$，以及一个相关系数 $\rho$。记作 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$。

• 概率密度函数:

  $$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right) + \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2\right]\right)$$

• 重要性质:

  1. 边缘分布：二维正态分布的两个边缘分布仍然是正态分布。
     • $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$
     • $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$
  2. 条件分布：在给定一个变量的条件下，另一个变量的条件分布也是正态分布。
  3. 不相关与独立的等价性：对于二维正态分布，“不相关”与“相互独立”是等价的。即 $\rho=0 \iff Cov(X,Y)=0 \iff X,Y$ 相互独立。这是二维正态分布最重要的性质。

补充：二维正态分布中"不相关"与"相互独立"等价的证明

通常情况下，两个随机变量相互独立，那么它们一定不相关。但反过来，不相关并不一定能推出相互独立。然而，对于二维正态分布来说，这是一个特例，“不相关”与“相互独立”是等价的。

简要总结：对于二维正态分布，X和Y不相关时，其$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，因此此时X和Y相互独立。又由于“独立”总是能推出“不相关”，因此两者是等价的。

假设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，其参数为 $(\mu_X, \mu_Y, \sigma_X^2, \sigma_Y^2, \rho)$。其联合概率密度函数为：

$$\begin{aligned} f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right) + \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2\right]\right) \end{aligned}$$

其中 $\rho$ 是 $X$ 和 $Y$ 的相关系数。

如果 $X$ 和 $Y$ 不相关，根据定义，它们的相关系数 $\rho=0$。我们将 $\rho=0$ 代入上面的联合概率密度函数公式：

$$\begin{aligned} f(x, y) &= \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y} \exp\left(-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 + \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2\right]\right) \\ &= \left[\frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}\right)\right] \cdot \left[\frac{1}{\sigma_Y\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}\right)\right] \end{aligned}$$

我们知道，服从正态分布 $N(\mu_X, \sigma_X^2)$ 的随机变量 $X$与服从正态分布 $N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$ 的随机变量 $Y$ 的边际概率密度函数分别为

$$\begin{aligned} f_X(x) &= \frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}\right) \\ f_Y(y) &= \frac{1}{\sigma_Y\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}\right) \end{aligned}$$

因此，当 $\rho=0$ 时，我们有 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。根据随机变量相互独立的定义，如果其联合概率密度函数等于其边际概率密度函数的乘积，则这两个随机变量相互独立。

综上所述，对于二维正态分布，若 $X$ 和 $Y$ 不相关，则它们必定相互独立。由于“独立”总是能推出“不相关”，因此两者是等价的。

2. 二维正态分布的条件分布

• 条件分布：在给定一个变量的条件下，另一个变量的条件分布也是正态分布。
  • 给定 $X=x$，$Y$ 的条件分布为：

    $$Y \mid X = x \sim N\left(\mu_Y + \rho \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (x - \mu_X), \sigma_Y^2 (1 - \rho^2)\right)$$

  • 给定 $Y=y$，$X$ 的条件分布为：

    $$X \mid Y = y \sim N\left(\mu_X + \rho \frac{\sigma_X}{\sigma_Y} (y - \mu_Y), \sigma_X^2 (1 - \rho^2)\right)$$

6. 二维随机变量函数的分布 (变量变换法)

对于二维连续型随机变量 $(X,Y)$，求其函数 $Z=g(X,Y)$ 的分布，通常有两种方法。

方法一：分布函数法 (通用)

通过定义求 $Z$ 的分布函数 $F_Z(z) = P\{Z \le z\} = P\{g(X,Y) \le z\}$，即在 $xy$ 平面上对满足 $g(x,y) \le z$ 的区域进行二重积分，然后求导得到密度函数 $f_Z(z)$。

方法二：公式法 (常用变换)

对于 $U=U(X,Y), V=V(X,Y)$ 这样的变量变换，若变换可逆且存在连续偏导数，可以使用雅可比行列式 (Jacobian) 求解。

1. 反解：从 $u=u(x,y), v=v(x,y)$ 中解出 $x=x(u,v), y=y(u,v)$。
2. 计算雅可比行列式:

   $$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$$

3. 求联合密度：$(U,V)$ 的联合密度函数为 $f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}[x(u,v), y(u,v)] \cdot |J|$。注意此处是乘以雅各比行列式的绝对值
4. 求边缘密度：对不需要的变量积分，即可得到目标变量的密度函数。

应用：推导 Z = X + Y 的卷积公式

• 构造变换:
  我们要求 $Z=X+Y$ 的分布。为了使用雅可比法，需要引入一个辅助变量，最简单的就是令 $V=Y$。
  于是有变换：$Z = X+Y$, $V=Y$。

• 反解:
  $X = Z-V$, $Y = V$。

• 计算雅可比行列式:

  $$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(z,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 = 1$$

  $|J|=1$。

• 求联合密度:
  $f_{Z,V}(z,v) = f_{X,Y}(z-v, v) \cdot |J| = f_{X,Y}(z-v, v)$。

• 求边缘密度 (积分):
  为了得到 $Z$ 的密度函数 $f_Z(z)$，我们需要对辅助变量 $v$ 进行积分：

  $$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Z,V}(z,v) dv = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(z-v, v) dv$$

  如果我们当初选择 $V=X$ 作为辅助变量，会得到另一个等价的形式：

  $$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(z-x, x) dx$$

  这两个积分形式，正是卷积公式。

• 重要结论 (常用分布的可加性):

  • 正态分布：若 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，且 $X, Y$ 相互独立，则

    $$aX \pm bY \sim N(a\mu_1 \pm b\mu_2, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$$

    特别地，

    $$X \pm Y \sim N(\mu_1 \pm \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$$

  • 泊松分布：若 $X \sim P(\lambda_1), Y \sim P(\lambda_2)$，且 $X, Y$ 相互独立，则

    $$X+Y \sim P(\lambda_1+\lambda_2)$$

  • 二项分布：若 $X \sim B(n_1, p), Y \sim B(n_2, p)$，且 $X, Y$ 相互独立，则

    $$X+Y \sim B(n_1+n_2, p)$$

    (注意：$p$ 必须相同)

  • $\chi^2$ 分布 (卡方分布)：若 $X \sim \chi^2(n_1), Y \sim \chi^2(n_2)$，且 $X, Y$ 相互独立，则

    $$X+Y \sim \chi^2(n_1+n_2)$$

应用：求 Z = max/min 函数的分布

设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 为 n 个相互独立的随机变量，其分布函数分别为 $F_{X_i}(x)$，密度函数为 $f_{X_i}(x)$。求解这类问题的核心是分布函数法。

• 最大值 $Y = \max(X_1, \dots, X_n)$ 的分布:

  • 分布函数 (CDF):
    事件 $\{\max(X_i) \le y\}$ 等价于事件 $\{X_1 \le y, \dots, X_n \le y\}$。

    $$F_Y(y) = P\{Y \le y\} = P\{X_1 \le y, \dots, X_n \le y\}$$

    因为各变量独立，所以：

    $$F_Y(y) = \prod_{i=1}^{n} P\{X_i \le y\} = \prod_{i=1}^{n} F_{X_i}(y)$$

  • i.i.d. 情况：若 $X_i$ 独立同分布 (CDF为$F_X(x)$)，则 $F_Y(y) = [F_X(y)]^n$。
  • 概率密度 (PDF) (i.i.d.情况)：$f_Y(y) = F'_Y(y) = n[F_X(y)]^{n-1}f_X(y)$。

• 最小值 $Z = \min(X_1, \dots, X_n)$ 的分布:

  • 分布函数 (CDF) (使用对立事件):
    事件 $\{\min(X_i) > z\}$ 等价于事件 $\{X_1 > z, \dots, X_n > z\}$。

    $$F_Z(z) = P\{Z \le z\} = 1 - P\{Z > z\} = 1 - P\{X_1 > z, \dots, X_n > z\}$$

    因为各变量独立，所以：

    $$F_Z(z) = 1 - \prod_{i=1}^{n} P\{X_i > z\} = 1 - \prod_{i=1}^{n} [1-F_{X_i}(z)]$$

  • i.i.d. 情况：若 $X_i$ 独立同分布，则 $F_Z(z) = 1 - [1-F_X(z)]^n$。
  • 概率密度 (PDF) (i.i.d.情况)：$f_Z(z) = F'_Z(z) = n[1-F_X(z)]^{n-1}f_X(z)$。

第二部分：随机变量的数字特征

一、数学期望 (E(X))

数学期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量取值的平均水平。

1. 定义

• 离散型随机变量：$X$ 的概率分布为 $P\{X=x_k\} = p_k, \ k=1, 2, \dots$

  $$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k$$

• 连续型随机变量：$X$ 的概率密度函数为 $ f(x)$

  $$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx$$

2. 随机变量函数的期望

设 $Y = g(X)$，则 $E(Y) = E[g(X)]$

• 离散型：$\sum\limits_{k=1}^{\infty} g(x_k) p_k$
• 连续型：$\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx$

3. 数学期望的性质

二、方差 (D(X))

方差衡量了随机变量与其期望值的偏离程度，反映了随机变量取值的稳定性。

1. 定义与计算公式

• 定义：$D(X) = E[(X - E(X))^2]$
• 计算公式：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

2. 方差的性质

三、协方差 ($Cov(X, Y)$) 与相关系数 ($\rho_{XY}$)

1. 协方差

• 定义：$Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$
• 计算公式：$Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
• 性质:
  • $Cov(X, Y) = Cov(Y, X)$
  • $Cov(aX, bY) = ab \cdot Cov(X, Y)$
  • $Cov(X_1+X_2, Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)$
  • 若 $X, Y$ 相互独立，则 $Cov(X, Y) = 0$。反之不一定成立！

2. 相关系数

• 定义：$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$
• 性质:
  • 有界性：$|\rho_{XY}| \le 1$。
  • $|\rho_{XY}| = 1 \iff$ $X, Y$ 完全线性相关。
  • $\rho_{XY} = 0 \iff$ $X, Y$ 不相关。

3. 重要推论与例题

• 例：二维正态分布下，和与差的相关性
  问题：设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，令 $U=X+Y, V=X-Y$。试求 $U$ 与 $V$ 不相关的充要条件。

  解:
  要使 $U$ 与 $V$ 不相关，其充要条件是 $Cov(U, V)=0$。我们来计算其协方差：

  $$\begin{aligned} Cov(U, V) &= Cov(X+Y, X-Y) \\ &= Cov(X, X-Y) + Cov(Y, X-Y) \quad\textit{(利用协方差的可加性)} \\ &= [Cov(X,X) - Cov(X,Y)] + [Cov(Y,X) - Cov(Y,Y)] \\ &= D(X) - Cov(X,Y) + Cov(Y,X) - D(Y) \\ &= D(X) - D(Y) \quad\textit{(因为 } Cov(X,Y) = Cov(Y,X) \textit{)} \end{aligned}$$

  令 $Cov(U, V) = 0$，即可得 $D(X) - D(Y) = 0$，即 $D(X) = D(Y)$。

  结论:
  $U$ 与 $V$ 不相关的充要条件是 $X$ 与 $Y$ 的方差相等，即 $D(X)=D(Y)$ 或 $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$。

  重要推广:
  由于 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，其线性组合 $(U,V)$ 也服从二维正态分布。对于二维正态分布来说，“不相关”与“相互独立”是等价的。因此，$D(X)=D(Y)$ 也是 $U$ 与 $V$ 相互独立的充要条件。

第三部分：数理统计入门

一、切比雪夫不等式 (Chebyshev’s Inequality)

切比雪夫不等式是一个重要的概率不等式，它给出了随机变量偏离其期望的概率上界，优点在于对随机变量的分布无任何要求。通俗理解是：“随机变量离中心点应该相差不远”

• 定理：设随机变量 $X$ 具有数学期望 $E(X) = \mu$ 和方差 $D(X) = \sigma^2 < \infty$。则对于任意正数 $\varepsilon$，有：

  $$P\{|X - \mu| \ge \varepsilon\} \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$

  或者等价地：

  $$P\{|X - \mu| < \varepsilon\} \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$

• 核心思想：随机变量的取值越分散 (即方差 $\sigma^2$ 越大)，其偏离期望 $\mu$ 的概率就越大。这个不等式是许多极限定理证明的基础。

二、大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理是概率论中描述随机变量序列极限行为的两个核心定理，是连接概率论与数理统计的桥梁。

1. 依概率收敛 (Convergence in Probability)

在讨论大数定律之前，我们首先需要理解“依概率收敛”的含义。它是描述随机变量序列极限行为的一种方式。

• 定义：设 $Y_1, Y_2, \dots, Y_n, \dots$ 是一个随机变量序列， $a$ 是一个常数。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，都有：

  $$\lim_{n \to \infty} P\{|Y_n - a| < \varepsilon\} = 1$$

  或者等价地：

  $$\lim_{n \to \infty} P\{|Y_n - a| \ge \varepsilon\} = 0$$

  那么，我们称随机变量序列 $\{Y_n\}$ 依概率收敛于 $a$，记作 $Y_n \xrightarrow{P} a$。

• 直观理解：当 $n$ 足够大时，随机变量 $Y_n$ 的取值落在常数 $a$ 的任意小的邻域内的概率会无限接近于1。也就是说，$Y_n$ 与 $a$ 之间出现较大偏差的可能性会变得微乎其微。