线性代数 | 二次型与矩阵谱分解：基于2013年考研数学真题的分析

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二次型与矩阵谱分解：基于2013年考研数学真题的分析

本文将详细解答2013年考研数学中的一道线性代数题目，并深入探讨其背后涉及的矩阵分解理论。

一、题目回顾

题目 (2013年数学一、三)

$$f(x_1, x_2, x_3) = 2(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3)^2 + (b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3)^2$$

记：

$$\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$$

(I) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$。

(II) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_1^2 + y_2^2$。

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二、考研大纲内常规解法

(I) 证明二次型的矩阵

思路：根据二次型的矩阵表示 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，将已知表达式凑成此形式。

证明：
设

$$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$

给定的二次型 $f$ 可以写作两个标量内积的平方和：

$$f(x_1, x_2, x_3) = 2(\alpha^T \mathbf{x})^2 + (\beta^T \mathbf{x})^2$$

由于 $\alpha^T \mathbf{x}$ 是一个标量，它等于其自身的转置，即 $\alpha^T \mathbf{x} = (\alpha^T \mathbf{x})^T = \mathbf{x}^T \alpha$。

因此，我们可以改写平方项：

$$\begin{aligned} (\alpha^T \mathbf{x})^2 &= (\alpha^T \mathbf{x}) \cdot (\alpha^T \mathbf{x}) = (\mathbf{x}^T \alpha) \cdot (\alpha^T \mathbf{x}) = \mathbf{x}^T (\alpha\alpha^T) \mathbf{x} \end{aligned}$$

同理：

$$\begin{aligned} (\beta^T \mathbf{x})^2 &= \mathbf{x}^T (\beta\beta^T) \mathbf{x} \end{aligned}$$

将上述形式代入原二次型表达式：

$$\begin{aligned} f(\mathbf{x}) &= 2\left[\mathbf{x}^T (\alpha\alpha^T) \mathbf{x}\right] + \left[\mathbf{x}^T (\beta\beta^T) \mathbf{x}\right] \\ f(\mathbf{x}) &= \mathbf{x}^T (2\alpha\alpha^T) \mathbf{x} + \mathbf{x}^T (\beta\beta^T) \mathbf{x} \\ f(\mathbf{x}) &= \mathbf{x}^T (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T) \mathbf{x} \end{aligned}$$

根据二次型的矩阵定义 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，可得其对应的矩阵 $A$ 为：

$$\begin{aligned} A &= 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T \end{aligned}$$

证毕。

(II) 求解标准形

思路：二次型的标准形由其矩阵的特征值决定。我们需求出矩阵 $A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$ 的所有特征值。

求解：
已知条件：

1. $\alpha, \beta$ 正交：$\alpha^T \beta = \beta^T \alpha = 0$
2. $\alpha, \beta$ 是单位向量：$\alpha^T \alpha = 1$, $\beta^T \beta = 1$

我们来寻找矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。
考虑用 $A$ 左乘向量 $\alpha$：

$$\begin{aligned} A\alpha &= (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T)\alpha = 2\alpha(\alpha^T\alpha) + \beta(\beta^T\alpha) \end{aligned}$$

将已知条件代入：

$$\begin{aligned} A\alpha &= 2\alpha(1) + \beta(0) = 2\alpha \end{aligned}$$

这是一个标准的特征值定义式 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$。因此，$\alpha$ 是 $A$ 的一个特征向量，对应的特征值 $\lambda_1 = 2$。

接下来，用 $A$ 左乘向量 $\beta$：

$$\begin{aligned} A\beta &= (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T)\beta = 2\alpha(\alpha^T\beta) + \beta(\beta^T\beta) \end{aligned}$$

将已知条件代入：

$$\begin{aligned} A\beta &= 2\alpha(0) + \beta(1) = \beta \end{aligned}$$

因此，$\beta$ 是 $A$ 的一个特征向量，对应的特征值 $\lambda_2 = 1$。

矩阵 $A$ 是一个 $3 \times 3$ 矩阵，应该有3个特征值。我们还需要找到第三个特征值。
我们可以通过分析矩阵 $A$ 的秩来找到它。

• $\alpha\alpha^T$ 是一个 $3 \times 3$ 矩阵，其秩为 $\text{rank}(\alpha\alpha^T) = 1$。
• $\beta\beta^T$ 也是一个秩为1的矩阵。
• 由于 $\alpha$ 和 $\beta$ 线性无关（因为它们正交），则 $A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$ 的秩为 $\text{rank}(A) = \text{rank}(\alpha\alpha^T) + \text{rank}(\beta\beta^T) = 1+1=2$。

对于一个 $3 \times 3$ 矩阵，如果秩为2，说明其核（零空间）的维度为 $3-2=1$。这意味着 $A\mathbf{x} = 0$ 有非零解，即 $A$ 有一个特征值为 $\lambda_3 = 0$。

综上所述，矩阵 $A$ 的特征值为 $2, 1, 0$。

二次型在正交变换下的标准形为

$$\begin{aligned} f &= \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 \end{aligned}$$

因此，标准形为：

$$\begin{aligned} f &= 2y_1^2 + 1y_2^2 + 0y_3^2 = 2y_1^2 + y_2^2 \end{aligned}$$

证毕。

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三、方法二：利用谱分解定理求解

如果我们已知谱分解定理，可以用一种更具理论指导性的视角来解决此题。

思路：

1. 根据谱定理，二次型 $f$ 对应的对称矩阵 $A$ 一定可以通过正交变换对角化，其标准形由 $A$ 的特征值唯一确定。
2. 因此，解题的核心任务就是求出 $A$ 的所有特征值。
3. 谱定理还告诉我们，一个 $n \times n$ 对称矩阵有 $n$ 个线性无关的特征向量。我们可以尝试从矩阵 $A$ 的构造中寻找这些特征向量。

求解步骤：

1. 寻找特征向量：矩阵 $A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$ 是由向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 构造的。一个自然的想法是，检验 $\alpha$ 和 $\beta$ 是否就是 $A$ 的特征向量。

   • 计算 $A\alpha = (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T)\alpha = 2\alpha(\alpha^T\alpha) + \beta(\beta^T\alpha) = 2\alpha(1) + \beta(0) = 2\alpha$。
     可见 $\alpha$ 是特征向量，对应特征值 $\lambda_1 = 2$。
   • 计算 $A\beta = (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T)\beta = 2\alpha(\alpha^T\beta) + \beta(\beta^T\beta) = 2\alpha(0) + \beta(1) = \beta$。
     可见 $\beta$ 是特征向量，对应特征值 $\lambda_2 = 1$。

2. 寻找第三个特征向量：根据谱定理，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。我们已经知道 $\alpha \perp \beta$。对于 $3 \times 3$ 矩阵，我们可以找到第三个特征向量 $\gamma$，它与 $\alpha$ 和 $\beta$ 都正交。

   • 令 $\gamma$ 为一个与 $\alpha, \beta$ 都正交的非零向量，则有 $\alpha^T\gamma=0$ 和 $\beta^T\gamma=0$。
   • 计算 $A\gamma = (2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T)\gamma = 2\alpha(\alpha^T\gamma) + \beta(\beta^T\gamma) = 2\alpha(0) + \beta(0) = \mathbf{0}$。
   • $A\gamma = 0\gamma$。可见 $\gamma$ 是特征向量，对应特征值 $\lambda_3 = 0$。

3. 确定标准形：我们找到了 $A$ 的全部三个特征值：$2, 1, 0$。
   二次型在正交变换下的标准形为

$$\begin{aligned} f &= \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 \end{aligned}$$

因此，标准形为 

$$\begin{aligned} f &= 2y_1^2 + y_2^2 \end{aligned}$$

这个解法与常规解法的计算步骤几乎一样，但其每一步都由谱分解定理提供理论依据，思路更加清晰系统。

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四、题目核心理论：谱分解定理

这道题是 谱分解定理 (Spectral Theorem) 的一个绝佳应用范例。

谱分解定理指出，任何一个实对称矩阵 $A$ 都可以表示为其特征值和对应特征向量的加权和：

$$A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \mathbf{u}_i \mathbf{u}_i^T$$

其中 $\lambda_i$ 是特征值，$\{\mathbf{u}_i\}$ 是一组标准正交的特征向量。

与本题的联系：

1. 矩阵构造：题目中的矩阵 $A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T$ 正是谱分解的加法形式。它由两个秩为1的矩阵 $\alpha\alpha^T$ 和 $\beta\beta^T$ 线性组合而成。
2. 求解过程：我们在解题时，发现 $\alpha$ 和 $\beta$ 正是 $A$ 的特征向量，其系数 2 和 1 就是对应的特征值。这实际上是逆向运用了谱分解的思想：通过矩阵的构造形式，直接看出了它的特征值和特征向量，从而避免了复杂的特征方程计算。
3. 理论本质：这道题深刻揭示了对称矩阵的本质——它可以被分解为一系列沿着相互正交方向的“拉伸”，而拉伸的强度就是特征值。本题中的“拉伸”方向就是 $\alpha$ 和 $\beta$ 的方向。

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五、总结：实对称矩阵的谱分解结构

通过本题的分析，我们可以深化对实对称矩阵结构的理解。其核心在于谱分解，而非其他形式的分解。

任何一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ 都可以被看作是一系列相互正交的、秩为1的投影矩阵 $(\mathbf{u}_i \mathbf{u}_i^T)$ 的加权和，权重就是对应的特征值 $\lambda_i$。

$$A = \lambda_1 \mathbf{u}_1 \mathbf{u}_1^T + \lambda_2 \mathbf{u}_2 \mathbf{u}_2^T + \dots + \lambda_n \mathbf{u}_n \mathbf{u}_n^T$$

这个结构是实对称矩阵一切优良性质（如可正交对角化）的根源。

本题中的矩阵 $A = 2\alpha\alpha^T + 1\beta\beta^T + 0\gamma\gamma^T$ (其中 $\gamma$ 是与 $\alpha, \beta$ 正交的单位向量)，完美地诠释了这一基本结构。