线性代数 | 逆矩阵

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在线性代数中，逆矩阵具有诸多性质，拥有许多用途。本文从各个方面总结逆矩阵相关的性质。

定义

AA−1=IAA^{-1}=I

奇异性和可逆性

在线性代数中，矩阵有许多特性，如

  • 奇异性
    singular⇔non-singular\text{singular}\xLeftrightarrow{}\text{non-singular}
  • 线性相关性
    independence⇔dependense\text{independence}\xLeftrightarrow{}\text{dependense}
  • 可逆性
    invertibility\text{invertibility}
  • 正交性
    orthogonality\text{orthogonality}
  • 相似性
    similarity\text{similarity}
类型 秩 pivot independency
singular r<nr<n 0 pivot dependent column
invertible r=nr=n 满秩 independent column

如果矩阵AA可逆，它将会有以下两个性质

性质一

detA≠0(1)det A \neq 0 \tag{1}

如果行列式的值等于0，可以从以下几个角度进行理解：

  • 从线性变换的角度
    • 行列式的值 det Adet\ A 代表线性变换前后图形（体积）变化的比例
    • 行列式等于0，表示矩阵对应的线性变换是不可逆的，即存在非零向量被映射到零向量，或者说矩阵的列空间不等于整个空间。

线性变换可以用矩阵来表示，而矩阵的行列式就是线性变换的缩放程度，即线性变换前后面积或体积的比例。

  • 线性变换的行列式等于0时，表示线性变换是不可逆的，即存在非零向量被映射到零向量。
  • 线性变换的行列式等于1时，表示线性变换是保面积或保体积的，即线性变换前后面积或体积不变。
  • 从几何形体的角度
    • 行列式等于0表示矩阵对应的超平行多面体是退化的，即没有面积或体积，或者说矩阵的列向量是线性相关的。

行列式就是行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积,矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。

  • 行列式等于0时，表示超平行多面体是退化的，即没有面积或体积。
  • 行列式等于0时，也表示线性变换下的图形面积或体积为0，即被压缩到一条直线或一个点上。
  • 单位矩阵的行列式等于1，即单位立方体的体积是1。
  • 矩阵AB的行列式等于A的行列式乘以B的行列式，即级联系统的放大倍数等于分别每一级放大倍数的乘积。
  • 线性变换下的图形面积或体积不变，即保面积或保体积。
  • 从方程组解的角度
    • 行列式等于0表示矩阵对应的方程组可能无解或有无穷多解，即系数矩阵和增广矩阵不满秩。

从方程组解的角度，行列式等于0表示的意义是系数矩阵的秩小于未知数的个数，也就是说方程组有自由变量。这时候，方程组可能无解，也可能有无穷多解。

性质二

r=n(2)r=n \tag{2}

此性质代表满秩，只有满秩的矩阵才可逆。

由于矩阵代表线性变换，这样的线性变换可能是相同维度内的变换(r=nr=n)，也可能是从高维到低维(r<nr<n)。

若矩阵 Ax=bAx=b (r=n)(r=n)表示在相同维度内将向量xx变换为bb，矩阵 A−1A^{-1} 就表示从 bb变回 xx 的逆变换。此过程类似于减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算的过程。

如果矩阵不满秩，代表这是降维变换，这样的逆变换无法实现，如同你可以将一个正方体变换成一条直线，但是你无法从这条直线得到原来的立方体。

秩和方程 Ax=bAx=b 的解的关系

类型 行列式值 秩 变量 解的个数
square and invertible det A≠0det\ A\neq0 r=m=nr=m=n no free variables 1 solution1 \ solution
short and wide det A=0det\ A=0 r=m<nr=m<n free variables ∞ solutions\infin\ solutions
tall and thin det A=0det\ A=0 r=m=nr=m=n no free variables 0 or 1 solution0\ or\ 1\ solution
not full rank det A=0det\ A=0 r=m=nr=m=n no free variables 0 or ∞ solution0\ or\ \infin\ solution

计算方法

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

先穿袜子再穿鞋，先脱鞋再脱袜子

[AI]→Gauss-Jordan Elimination[IA−1][AI]\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan Elimination}}[IA^{-1}]

det K=products of pivotsdet\ K=\text{products of pivots}

如果矩阵是对称矩阵，那么有

K↔symmetricK−1K\xleftrightarrow{\text{symmetric}}K^{-1}

如果矩阵是上三角矩阵，那么有

K↔upper triangularK−1K\xleftrightarrow{\text{upper triangular}}K^{-1}

如果是二行二列的矩阵，可以直接运算

[abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]=1det A[d−b−ca]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1}= \cfrac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}=\cfrac{1}{det\ A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}

行列式的值

(det A)(det A−1)=det I=1(det\ A)(det\ A^{-1})=det\ I=1

克莱默法则

det A−1=Idet Adet\ A^{-1}=\cfrac{I}{det\ A}

(A−1)ij=Cijdet A(A^{-1})_{ij}=\cfrac{C_{ij}}{det\ A}

A−1=CTdet AA^{-1}=\cfrac{C^T}{det\ A}

由上述公式可以推导出$$(det\ A)(det\ A^{-1})=det\ I=1$$

正交性

Q−1=QTQ^{-1}=Q^T