高等数学 | 三项函数乘积的积分：表格法推广

三函数乘积的积分：表格法推广

当我们在求解两个函数乘积的积分时，特别是其中一个函数（如多项式）经过多次求导后会变成零的情况下，表格积分法（Tabular Integration）是一种非常高效、直观的方法。这自然引出一个问题：这种方法能否推广到三个或更多函数乘积的积分？

本文将探讨这个问题，解释直接推广的难点，并提供一个逻辑上相似的、系统性的求解三函数乘积积分的方法。

1. 回顾：双函数乘积的表格积分法

我们首先回顾一下标准的分部积分公式：

$$\begin{aligned} \int u \, dv &= uv - \int v \, du \end{aligned}$$

当我们需要计算 $\int f(x)g(x)dx$ 并且 $f(x)$ 是一个可以被多次微分至零的函数（例如多项式）时，我们可以反复应用分部积分。表格法正是这个过程的简化形式。

方法如下：

1. 创建一个表格，左边一列放 $f(x)$ 及其各阶导数，直到为0。
2. 右边一列放 $g(x)$ 及其各阶积分。
3. 将左列的第 $i$ 项与右列的第 $i+1$ 项相乘，并交替赋予正负号（+,-,+, …）。
4. 将所有这些乘积项相加，得到最终结果。

示例： 计算 $\int x^2 e^x dx$

符号	D (f(x))	I (g(x))
+	$x^2$	$e^x$
-	$2x$	$e^x$
+	$2$	$e^x$
	$0$	$e^x$

结果为：

$$\begin{aligned} \int x^2 e^x dx &= + (x^2)(e^x) - (2x)(e^x) + (2)(e^x) + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C \end{aligned}$$

其背后的数学公式是：

$$\begin{aligned} \int fg &= f g^{(-1)} - f' g^{(-2)} + f'' g^{(-3)} - \dots \end{aligned}$$

其中 $g^{(-n)}$ 表示对 $g$ 的 $n$ 次积分。

2. 推广到三函数的挑战

为什么不能简单地加一列来处理三个函数的乘积 $\int f(x)g(x)h(x)dx$ 呢？

核心困难在于微分的乘积法则。对于两个函数，$(fg)' = f'g + fg'$。而对于三个函数，$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$。

当我们试图应用分部积分时，例如令 $u = fg$ 和 $dv = h(x)dx$，我们得到：

$$\begin{aligned} \int fgh \, dx &= fg \int h \, dx - \int (f'g + fg') (\int h \, dx) \, dx \\ &= fg H_1 - \int f'gH_1 \, dx - \int fg'H_1 \, dx \end{aligned}$$

问题在于，一次分部积分后，原来的一个积分变成了两个新的、形式同样复杂的积分。这使得计算过程不断“分叉”，而不是像双函数情况那样呈线性递减的复杂性。因此，简单的三列表格法是行不通的。

3. 三函数积分的推广公式

尽管没有简单的表格法，但我们可以将双函数方法的思想进行推广，得到一个层次化的求解策略。该策略同样在其中一个函数（比如 $f(x)$）是多项式时最为有效。

其推广公式如下：

$$\begin{aligned} \int fgh \, dx &= f \left( \int gh \, dx \right) - f' \left( \iint gh \, dx \right) + f'' \left( \iiint gh \, dx \right) - \dots \end{aligned}$$

记 $I(gh) = \int gh \, dx$，$I^2(gh) = \int I(gh) \, dx$，以此类推，公式可以简记为：

$$\begin{aligned} \int fgh \, dx &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n f^{(n)}(x) I^{n+1}(gh) \end{aligned}$$

其中 $f^{(n)}$ 是 $f$ 的 $n$ 阶导数。

4. “元”表格法 (Meta-Tabular Method)

这个公式启发我们建立一种“元”表格法。它将问题分解为两个主要步骤：

步骤一：处理 gh 的重复积分
首先，你需要计算出函数对 $(g, h)$ 乘积的各阶积分。这本身可能就需要使用分部积分法或表格法。

• $I^1(gh) = \int g(x)h(x) dx$
• $I^2(gh) = \int I^1(gh) dx$
• $I^3(gh) = \int I^2(gh) dx$
• …

步骤二：构建主表格
然后，像标准的表格法一样，构建一个表格：

• 左列是 $f(x)$ 及其各阶导数。
• 右列是上一步计算出的 $gh$ 的各阶积分结果。
• 同样，对角相乘，交替符号，求和。

符号	D (f(x))	I (gh)
+	$f$	$gh$
-	$f'$	$I^1(gh)$
+	$f''$	$I^2(gh)$
-	$f'''$	$I^3(gh)$
…	$\dots$	$\dots$

5. 实例计算：$\int x e^x \cos(x) dx$

我们用这个方法来求解 $\int x e^x \cos(x) dx$。
这里，我们选择 $f(x) = x$, $g(x) = e^x$, $h(x) = \cos(x)$。

步骤一：计算 $gh = e^x \cos(x)$ 的积分

首先计算 $I^1(gh) = \int e^x \cos(x) dx$。这是一个经典的分部积分问题，结果为：

$$\begin{aligned} I^1 = \int e^x \cos(x) dx &= \frac{e^x}{2}(\cos(x) + \sin(x)) \end{aligned}$$

接着计算 $I^2(gh) = \int I^1 dx$：

$$\begin{aligned} I^2 &= \int \frac{e^x}{2}(\cos(x) + \sin(x)) dx \\ &= \frac{1}{2} \left( \int e^x \cos(x) dx + \int e^x \sin(x) dx \right) \end{aligned}$$

我们知道 $\int e^x \sin(x) dx = \frac{e^x}{2}(\sin(x) - \cos(x))$，代入上式得：

$$\begin{aligned} I^2 &= \frac{1}{2} \left( \frac{e^x}{2}(\cos(x) + \sin(x)) + \frac{e^x}{2}(\sin(x) - \cos(x)) \right) = \frac{e^x}{2} \sin(x) \end{aligned}$$

步骤二：构建主表格

现在我们有了所需的部件，可以构建主表格了。

符号	D (f(x))	I (gh)
+	$x$	-
-	$1$	$I^1 = \frac{e^x}{2}(\cos(x) + \sin(x))$
+	$0$	$I^2 = \frac{e^x}{2} \sin(x)$

步骤三：组合结果
将对角线元素相乘并求和：

$$\begin{aligned} \int x e^x \cos(x) dx &= + x \cdot I^1 - 1 \cdot I^2 + C \\ &= x \left( \frac{e^x}{2}(\cos(x) + \sin(x)) \right) - \frac{e^x}{2} \sin(x) + C \\ &= \frac{e^x}{2} [x(\cos(x) + \sin(x)) - \sin(x)] + C \end{aligned}$$

6. 结论

虽然不存在像双函数情况那样简单明了的三函数表格积分法，但我们可以通过一个层次化的、系统性的“元”表格法来解决这类问题。该方法的核心是将三函数积分问题降解为：

1. 求解一个双函数乘积的重复积分问题。
2. 将上述结果作为“已知部分”，应用到标准表格法的框架中。

这种方法虽然不一定“快速”，但它提供了一个清晰的、按部就班的路线图，可以用来处理看似复杂的多函数乘积积分问题。

7. 验证实例：计算 $\int^1_0 x \sin(x) e^x dx$

为了验证此方法的有效性，我们计算一个具体的定积分。

1. 函数选择
令 $f(x) = x$, $g(x) = e^x$, $h(x) = \sin(x)$。

2. 计算 gh 的重复积分
我们需要计算 $I^1(gh) = \int e^x \sin(x) dx$ 和 $I^2(gh) = \int I^1(gh) dx$。

• 计算 $I^1$: 这是一个标准的分部积分问题，其结果是：

  $$\begin{aligned} I^1 = \int e^x \sin(x) dx &= \frac{e^x}{2}(\sin(x) - \cos(x)) \end{aligned}$$

• 计算 $I^2$:

  $$\begin{aligned} I^2 = \int \frac{e^x}{2}(\sin(x) - \cos(x)) dx &= \frac{1}{2} \left[ \int e^x\sin(x)dx - \int e^x\cos(x)dx \right] \end{aligned}$$

  我们已知 $\int e^x\cos(x)dx = \frac{e^x}{2}(\sin(x) + \cos(x))$，代入后可得：

  $$\begin{aligned} I^2 = \frac{1}{2} \left[ \frac{e^x}{2}(\sin(x) - \cos(x)) - \frac{e^x}{2}(\sin(x) + \cos(x)) \right] &= -\frac{e^x}{2}\cos(x) \end{aligned}$$

3. 构建主表格

符号	D (f(x))	I (gh)
+	$x$	-
-	$1$	$I^1 = \frac{e^x}{2}(\sin(x) - \cos(x))$
+	$0$	$I^2 = -\frac{e^x}{2}\cos(x)$

4. 求解不定积分
根据表格，不定积分的结果是：

$$\begin{aligned} \int x e^x \sin(x) dx &= (+x \cdot I^1) - (1 \cdot I^2) + C \\ &= x \frac{e^x}{2}(\sin(x) - \cos(x)) - (-\frac{e^x}{2}\cos(x)) + C \\ &= \frac{e^x}{2} [x(\sin(x) - \cos(x)) + \cos(x)] + C \end{aligned}$$

5. 计算定积分
我们将上下限 $1$ 和 $0$ 代入上面的不定积分结果 $F(x)$ 中。

• 上限代入 (x=1):

  $$\begin{aligned} F(1) &= \frac{e^1}{2} [1 \cdot (\sin(1) - \cos(1)) + \cos(1)] = \frac{e}{2} \sin(1) \end{aligned}$$

• 下限代入 (x=0):

  $$\begin{aligned} F(0) &= \frac{e^0}{2} [0 \cdot (\sin(0) - \cos(0)) + \cos(0)] = \frac{1}{2} [0 + 1] = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

• 求差：

  $$\begin{aligned} \int^1_0 x \sin(x) e^x dx &= F(1) - F(0) = \frac{e \sin(1)}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e \sin(1) - 1}{2} \end{aligned}$$

此结果与通过其他计算工具（如WolframAlpha）验证的结果一致，证明了该方法的正确性。