线性代数 | 可逆矩阵的极分解定理

可逆矩阵的极分解定理

一、定理概述

可逆矩阵的极分解定理（Polar Decomposition Theorem）是线性代数中的一个基本且重要的定理。它类似于复数的极坐标表示形式 $z = re^{i\theta}$，将矩阵分解为"旋转"和"伸缩"两个部分。

定理陈述：设 $A$ 是 $n \times n$ 的可逆实矩阵（或复矩阵），则存在唯一的分解：

右极分解（Right Polar Decomposition）

$$A = UP$$

其中：

• $U$ 是正交矩阵（实矩阵情况下，$U^TU = I$）或酉矩阵（复矩阵情况下，$U^*U = I$）
• $P$ 是正定对称矩阵（实矩阵情况下）或正定Hermite矩阵（复矩阵情况下）

左极分解（Left Polar Decomposition）

$$A = QU$$

其中：

• $U$ 是正交矩阵（或酉矩阵），与右极分解中的 $U$ 相同
• $Q$ 是正定对称矩阵（或正定Hermite矩阵）

二、几何意义

极分解的几何意义非常直观：

1. 右极分解 $A = UP$：

   • 首先由 $P$（正定对称矩阵）进行伸缩和形变
   • 然后由 $U$（正交矩阵）进行旋转（保持长度和角度）

2. 左极分解 $A = QU$：

   • 首先由 $U$ 进行旋转
   • 然后由 $Q$ 进行伸缩和形变

3. 类比复数：

   • 复数的极坐标形式：$z = re^{i\theta}$，其中 $r > 0$ 是模长，$e^{i\theta}$ 表示旋转
   • 矩阵的极分解：正定矩阵相当于"模长"（伸缩），正交矩阵相当于"旋转"

三、证明思路

3.1 右极分解的构造

步骤1：考虑矩阵 $A^TA$

• $A^TA$ 是对称矩阵（或Hermite矩阵）
• $A^TA$ 是半正定的，因为

$$\langle A^TAx, x \rangle = \langle Ax, Ax \rangle = \|Ax\|^2 \geq 0$$

• 由于 $A$ 可逆，$A^TA$ 实际上是正定的

步骤2：定义 $P$

$$P = \sqrt{A^TA}$$

• 由于 $A^TA$ 是正定对称矩阵，存在唯一的正定对称矩阵 $P$ 使得 $P^2 = A^TA$
• 这个 $P$ 称为 $A^TA$ 的正定平方根

步骤3：定义 $U$

$$U = AP^{-1}$$

• 验证 $U$ 是正交矩阵：

$$U^TU = (AP^{-1})^T(AP^{-1}) = (P^{-1})^TA^TAP^{-1}$$

由于 $P$ 是对称矩阵, $P^{-1}$ 也是对称矩阵, 即 $(P^{-1})^T = P^{-1}$。又因为 $P^2 = A^TA$, 所以：

$$U^TU = P^{-1}(A^TA)P^{-1} = P^{-1}P^2P^{-1} = (P^{-1}P)(PP^{-1}) = I$$

步骤4：验证分解

$$A = (AP^{-1})P = UP$$

3.2 左极分解的构造

类似地，从 $AA^T$ 出发：

步骤1：定义 $Q$

$$Q = \sqrt{AA^T}$$

• $AA^T$ 是正定对称矩阵
• $Q$ 是其唯一的正定平方根

步骤2：定义 $U$

$$U = Q^{-1}A$$

• 可以验证 $U$ 是正交矩阵

步骤3：得到左分解

$$A = QU$$

3.3 两种分解中 $U$ 的一致性和 $P, Q$ 的关系

虽然左右极分解形式不同，但其中的正交矩阵 $U$ 是相同的。而且：

$$Q = UPU^T$$

这是因为：

$$AA^T = (UP)(UP)^T = UPP^TU^T = UP^2U^T = U(A^TA)U^T$$

因此

$$Q = U\sqrt{A^TA}U^T = UPU^T$$

四、唯一性证明

右极分解的唯一性

假设存在两组分解：

$$A = U_1P_1 = U_2P_2$$

证明 $P$ 的唯一性：

$$\begin{aligned} A^TA = (U_1P_1)^T(U_1P_1) = P_1^TU_1^TU_1P_1 = P_1^2 \end{aligned}$$

同样，

$$A^TA = P_2^2$$

由于正定对称矩阵的正定平方根是唯一的，所以 $P_1 = P_2$。

证明 $U$ 的唯一性：
由于 $P$ 唯一且可逆，从 $A = UP$ 得到

$$\begin{aligned} U = AP^{-1} \end{aligned}$$

也是唯一的。

左极分解的唯一性

类似地可证明左极分解中 $Q$ 和 $U$ 的唯一性。

五、一般情况的推广

上述讨论针对可逆矩阵。对于一般的 $m \times n$ 矩阵 $A$（不必方阵，不必可逆），极分解定理仍然成立，但需要稍作调整：

一般极分解：对于任意实矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，存在分解：

$$A = UP$$

其中：

• $U \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 满足 $U^TU = I_n$（即 $U$ 的列向量是标准正交的）
• $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是半正定对称矩阵

如果 $\text{rank}(A) = n$，则 $P$ 是正定的且分解唯一。

六、极分解的计算方法

方法1：通过SVD（奇异值分解）

奇异值分解是计算极分解最有效的方法。

SVD分解：$A = V\Sigma W^T$，其中 $V, W$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵（对角元素为奇异值）。

右极分解：

• $U = VW^T$（正交矩阵）
• $P = W\Sigma W^T$（正定对称矩阵）
• 验证：$UP = (VW^T)(W\Sigma W^T) = V\Sigma W^T = A$ ✓

左极分解：

• $U = VW^T$（同上）
• $Q = V\Sigma V^T$（正定对称矩阵）
• 验证：$QU = (V\Sigma V^T)(VW^T) = V\Sigma W^T = A$ ✓

方法2：直接计算

右极分解：

1. 计算 $A^TA$
2. 对 $A^TA$ 进行特征值分解：$A^TA = W\Lambda W^T$（$\Lambda$ 是特征值对角矩阵）
3. 计算 $P = W\sqrt{\Lambda}W^T$
4. 计算 $U = AP^{-1}$

七、重要性质

1. 谱性质：

   • $P$ 和 $Q$ 的特征值等于 $A$ 的奇异值
   • $U$ 的特征值的模长为1（位于单位圆上）

2. 行列式关系：

   • $\det(A) = \det(U) \cdot \det(P) = \det(U) \cdot \det(Q)$
   • 由于 $\det(U) = \pm 1$，所以 $|\det(A)| = \det(P) = \det(Q)$

3. Frobenius范数：

   • $\|A\|_F = \|P\|_F = \|Q\|_F$
   • 这是因为 $\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^TA)$，且 $P=\sqrt{A^TA}$，所以 $\|P\|_F^2 = \text{tr}(P^2) = \text{tr}(A^TA)$。
   • 同样，$\|A\|_F^2 = \text{tr}(AA^T)$，而 $\|Q\|_F^2 = \text{tr}(Q^2) = \text{tr}(AA^T)$。

4. 条件数：

   • $\kappa(A) = \kappa(P) = \kappa(Q)$（使用2-范数）
   • 因为正交矩阵的条件数为1

八、应用

8.1 数值线性代数

• 矩阵分析：理解矩阵作用的几何结构
• 稳定性分析：正交矩阵具有良好的数值稳定性
• 优化问题：在Procrustes问题中寻找最优正交矩阵

8.2 计算机图形学

• 刚体变换分解：将一般的仿射变换分解为旋转和伸缩
• 动画插值：在变换矩阵之间进行平滑插值

8.3 力学和连续介质力学

• 变形梯度分解：在连续介质力学中，变形梯度张量 $F$ 的极分解 $F = RU$ 将变形分解为旋转 $R$ 和右伸长张量 $U$
• 应变度量：使用 $U$ 或 $Q$ 来定义应变

8.4 微分几何和李群理论

• 李群分解：$GL(n)$ 群的结构分析
• 对称空间：正定对称矩阵空间的几何结构

九、例题

例1：2×2矩阵的极分解

计算矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的右极分解。

解：

步骤1：计算 $A^TA$

$$\begin{aligned} A^TA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

步骤2：求 $A^TA$ 的特征值和特征向量

特征方程：

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 5-\lambda & 4 \\ 4 & 5-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)^2 - 16 = 0 \end{aligned}$$

解得：$\lambda_1 = 9, \lambda_2 = 1$

对应的标准正交特征向量：

• $\lambda_1 = 9$：$v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
• $\lambda_2 = 1$：$v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

步骤3：计算 $P = \sqrt{A^TA}$

$$\begin{aligned} P &= W\sqrt{\Lambda}W^T = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\\ P &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

步骤4：计算 $U = AP^{-1}$

首先计算 $P^{-1}$：

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

因此：

$$\begin{aligned} U = AP^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = I \end{aligned}$$

结论：在这个例子中，$A = IP = P$，即矩阵 $A$ 本身就是正定对称矩阵，不需要旋转部分。

例2：包含旋转的矩阵

计算矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ 的极分解。

解：

步骤1：计算 $A^TA$

$$\begin{aligned} A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

步骤2：计算 $P = \sqrt{A^TA}$

$$\begin{aligned} P = \sqrt{4I} = 2I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

步骤3：计算 $U = AP^{-1}$

$$\begin{aligned} U = A \cdot \frac{1}{2}I = \frac{1}{2}A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

验证 $U$ 是正交矩阵：

$$\begin{aligned} U^TU = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \end{aligned}$$

✓

结论：$A = UP$，其中 $U = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 是逆时针旋转90°的旋转矩阵，$P = 2I$ 是均匀伸缩2倍。

十、总结

可逆矩阵的极分解定理具有以下特点：

1. 存在性与唯一性：对于可逆矩阵，极分解存在且唯一
2. 几何意义清晰：将线性变换分解为旋转和伸缩
3. 计算方法成熟：通过SVD或直接特征值分解
4. 应用广泛：涵盖数值分析、几何学、力学等多个领域
5. 理论优美：与复数极坐标、李群理论有深刻联系

极分解定理是理解线性变换结构的重要工具，也是连接代数、几何和分析的桥梁。